다음을 풀어보세요: x+1=(x+7)^2

$$x + 1 = ( x + 7 ) ^ { 2 }$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}\approx -6.5-2.397915762i$$

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}\approx -6.5+2.397915762i$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x+1=x^{2}+14x+49$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x+1-x^{2}=14x+49$$

양쪽 모두에서 14x을(를) 뺍니다.

$$x+1-x^{2}-14x=49$$

x과(와) -14x을(를) 결합하여 -13x(을)를 구합니다.

$$-13x+1-x^{2}=49$$

양쪽 모두에서 49을(를) 뺍니다.

$$-13x+1-x^{2}-49=0$$

1에서 49을(를) 빼고 -48을(를) 구합니다.

$$-13x-48-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}-13x-48=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, -13을(를) b로, -48을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-13을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -48을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-192}}{2\left(-1\right)}$$

169을(를) -192에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

-23의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

-13의 반대는 13입니다.

$$x=\frac{13±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}을(를) 풉니다. 13을(를) i\sqrt{23}에 추가합니다.

$$x=\frac{13+\sqrt{23}i}{-2}$$

13+i\sqrt{23}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}을(를) 풉니다. 13에서 i\sqrt{23}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+13}{-2}$$

13-i\sqrt{23}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2} x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(x+7\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x+1=x^{2}+14x+49$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x+1-x^{2}=14x+49$$

양쪽 모두에서 14x을(를) 뺍니다.

$$x+1-x^{2}-14x=49$$

x과(와) -14x을(를) 결합하여 -13x(을)를 구합니다.

$$-13x+1-x^{2}=49$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$-13x-x^{2}=49-1$$

49에서 1을(를) 빼고 48을(를) 구합니다.

$$-13x-x^{2}=48$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}-13x=48$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}-13x}{-1}=\frac{48}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)x=\frac{48}{-1}$$

-13을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+13x=\frac{48}{-1}$$

48을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+13x=-48$$

x 항의 계수인 13을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{13}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{13}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-48+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{13}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-48+\frac{169}{4}$$

-48을(를) \frac{169}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-\frac{23}{4}$$

인수 x^{2}+13x+\frac{169}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{13}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}$$