다음을 풀어보세요: r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

r에 대한 해

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22.313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0.313708499$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$r^{2}-22r-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -22을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

-22을(를) 제곱합니다.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

-4에 -7을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

484을(를) 28에 추가합니다.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

512의 제곱근을 구합니다.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

-22의 반대는 22입니다.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}을(를) 풉니다. 22을(를) 16\sqrt{2}에 추가합니다.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

22+16\sqrt{2}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}을(를) 풉니다. 22에서 16\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

22-16\sqrt{2}을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$r^{2}-22r-7=0$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

자신에서 -7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

0에서 -7을(를) 뺍니다.

$$r^{2}-22r=7$$

x 항의 계수인 -22을(를) 2(으)로 나눠서 -11을(를) 구합니다. 그런 다음 -11의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

-11을(를) 제곱합니다.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

7을(를) 121에 추가합니다.

$$r^{2}-22r+121=128$$

인수 r^{2}-22r+121. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

단순화합니다.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

수식의 양쪽에 11을(를) 더합니다.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$