다음을 풀어보세요: n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

n에 대한 해

$$n=-15$$

$$n=16$$

인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 240을(를) 뺍니다.

$$n^{2}-n-240=0$$

방정식을 계산 하려면 수식 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right)을 사용 하 n^{2}-n-240. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=-240$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -240을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

이 해답은 합계 -1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-16 b=15$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(n+a\right)\left(n+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-16=0을 해결 하 고, n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 240을(를) 뺍니다.

$$n^{2}-n-240=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 n^{2}+an+bn-240(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -240을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

이 해답은 합계 -1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-16 b=15$$

n^{2}-n-240을(를) \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

첫 번째 그룹 및 15에서 n를 제한 합니다.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 n-16을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-16=0을 해결 하 고, n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$n^{2}-n=240$$

수식의 양쪽에서 240을(를) 뺍니다.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

자신에서 240을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$n^{2}-n-240=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -1을(를) b로, -240을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

-4에 -240을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

1을(를) 960에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

961의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

-1의 반대는 1입니다.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{1±31}{2}을(를) 풉니다. 1을(를) 31에 추가합니다.

$$n=\frac{32}{2}$$

32을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=16$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{1±31}{2}을(를) 풉니다. 1에서 31을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{30}{2}$$

-30을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=-15$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=16 n=-15$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$n^{2}-n=240$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

240을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

인수 n^{2}-n+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$n=16 n=-15$$