다음을 풀어보세요: n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n에 대한 해

$$n=-4$$

$$n=15$$

인수 분해 사용 단계

방정식을 계산 하려면 수식 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right)을 사용 하 n^{2}-11n-60. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -60을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

이 해답은 합계 -11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-15 b=4$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(n+a\right)\left(n+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-15=0을 해결 하 고, n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 n^{2}+an+bn-60(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -60을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

이 해답은 합계 -11이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60을(를) \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 n를 제한 합니다.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 n-15을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-15=0을 해결 하 고, n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$n^{2}-11n-60=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -11을(를) b로, -60을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4에 -60을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

121을(를) 240에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11의 반대는 11입니다.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{11±19}{2}을(를) 풉니다. 11을(를) 19에 추가합니다.

$$n=\frac{30}{2}$$

30을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=15$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{11±19}{2}을(를) 풉니다. 11에서 19을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=-4$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=15 n=-4$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$n^{2}-11n-60=0$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

자신에서 -60을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0에서 -60을(를) 뺍니다.

$$n^{2}-11n=60$$

x 항의 계수인 -11을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{11}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{11}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{11}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

60을(를) \frac{121}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

인수 n^{2}-11n+\frac{121}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{11}{2}을(를) 더합니다.

$$n=15 n=-4$$