다음을 풀어보세요: n^2-sqrt{3}n+1=0

$$n ^ { 2 } - \sqrt { 3 } n + 1 = 0$$

n에 대한 해

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\approx 0.866025404+0.5i$$

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\approx 0.866025404-0.5i$$

근의 공식을 사용한 단계

항의 순서를 재정렬합니다.

$$n^{2}-\sqrt{3}n+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, -\sqrt{3}을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}-4}}{2}$$

-\sqrt{3}을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{3-4}}{2}$$

3을(를) -4에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{-1}}{2}$$

-1의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±i}{2}$$

-\sqrt{3}의 반대는 \sqrt{3}입니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}을(를) 풉니다. \sqrt{3}을(를) i에 추가합니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

\sqrt{3}+i을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}을(를) 풉니다. \sqrt{3}에서 i을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}$$

\sqrt{3}-i을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

제곱 완성 단계

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$n^{2}-\sqrt{3}n=-1$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n=-1$$

x 항의 계수인 -\sqrt{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{\sqrt{3}}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{\sqrt{3}}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

-\frac{\sqrt{3}}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-1+\frac{3}{4}$$

-1을(를) \frac{3}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

인수 n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}i n-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}i$$

수식의 양쪽에 \frac{\sqrt{3}}{2}을(를) 더합니다.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$