다음을 풀어보세요: n^2+n-112=0

$$n ^ { 2 } + n - 112 = 0$$

n에 대한 해

$$n = \frac{\sqrt{449} - 1}{2} \approx 10.09481005$$

$$n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}\approx -11.09481005$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$n^{2}+n-112=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 1을(를) b로, -112을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-112\right)}}{2}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-112\right)}}{2}$$

-4에 -112을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+448}}{2}$$

1을(를) 448에 추가합니다.

$$n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}을(를) 풉니다. -1을(를) \sqrt{449}에 추가합니다.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-1±\sqrt{449}}{2}을(를) 풉니다. -1에서 \sqrt{449}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$n^{2}+n-112=0$$

수식의 양쪽에 112을(를) 더합니다.

$$n^{2}+n-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

자신에서 -112을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$n^{2}+n=-\left(-112\right)$$

0에서 -112을(를) 뺍니다.

$$n^{2}+n=112$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=112+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=112+\frac{1}{4}$$

112을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{449}{4}$$

인수 n^{2}+n+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{449}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{449}{4}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{449}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{449}}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{\sqrt{449}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{449}-1}{2}$$