다음을 풀어보세요: n^2+5n=500

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

n에 대한 해

$$n=-25$$

$$n=20$$

인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 500을(를) 뺍니다.

$$n^{2}+5n-500=0$$

방정식을 계산 하려면 수식 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right)을 사용 하 n^{2}+5n-500. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=5 ab=-500$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -500을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

이 해답은 합계 5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-20 b=25$$

가져온 값을 사용하여 인수 분해식 \left(n+a\right)\left(n+b\right)을(를) 다시 작성하세요.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-20=0을 해결 하 고, n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 500을(를) 뺍니다.

$$n^{2}+5n-500=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 n^{2}+an+bn-500(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -500을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

이 해답은 합계 5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-20 b=25$$

n^{2}+5n-500을(를) \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

첫 번째 그룹 및 25에서 n를 제한 합니다.

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 n-20을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-20=0을 해결 하 고, n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$n^{2}+5n=500$$

수식의 양쪽에서 500을(를) 뺍니다.

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

자신에서 500을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$n^{2}+5n-500=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1을(를) a로, 5을(를) b로, -500을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

-4에 -500을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

25을(를) 2000에 추가합니다.

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

2025의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-5±45}{2}을(를) 풉니다. -5을(를) 45에 추가합니다.

$$n=\frac{40}{2}$$

40을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=20$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-5±45}{2}을(를) 풉니다. -5에서 45을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{50}{2}$$

-50을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$n=-25$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=20 n=-25$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$n^{2}+5n=500$$

x 항의 계수인 5을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

500을(를) \frac{25}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

인수 n^{2}+5n+\frac{25}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$n=20 n=-25$$