다음을 풀어보세요: f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

계산

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

해답 단계

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

k\neq -1에 대 한 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{t^{4}}{4}으로 \int t^{3}\mathrm{d}t를 바꾸십시오.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

k\neq -1에 대 한 \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{t^{3}}{3}으로 \int t^{2}\mathrm{d}t를 바꾸십시오. 2에 \frac{t^{3}}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

일반 적분 규칙 \int a\mathrm{d}t=at 표를 사용 하 여 1의 적분을 구합니다.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

단순화합니다.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

x 관련 미분

$$x^{3}+2x^{2}+1$$