x, y에 대한 해 (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.
x, y에 대한 해
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.
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ax+3y=15,3x+by=4d
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
ax+3y=15
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
ax=-3y+15
수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.
x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)
양쪽을 a(으)로 나눕니다.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}
\frac{1}{a}에 -3y+15을(를) 곱합니다.
3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d
다른 수식 3x+by=4d에서 \frac{3\left(5-y\right)}{a}을(를) x(으)로 치환합니다.
\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d
3에 \frac{3\left(5-y\right)}{a}을(를) 곱합니다.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d
-\frac{9y}{a}을(를) by에 추가합니다.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}
수식의 양쪽에서 \frac{45}{a}을(를) 뺍니다.
y=\frac{4ad-45}{ab-9}
양쪽을 b-\frac{9}{a}(으)로 나눕니다.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}
x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}에서 y을(를) \frac{4da-45}{ba-9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}
-\frac{3}{a}에 \frac{4da-45}{ba-9}을(를) 곱합니다.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}
\frac{15}{a}을(를) -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}에 추가합니다.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
시스템이 이제 해결되었습니다.
ax+3y=15,3x+by=4d
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
ax+3y=15,3x+by=4d
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d
ax 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 a을(를) 곱합니다.
3ax+9y=45,3ax+aby=4ad
단순화합니다.
3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3ax+9y=45에서 3ax+aby=4ad을(를) 뺍니다.
9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
3ax을(를) -3ax에 추가합니다. 3ax 및 -3ax이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
\left(9-ab\right)y=45-4ad
9y을(를) -aby에 추가합니다.
y=\frac{45-4ad}{9-ab}
양쪽을 9-ab(으)로 나눕니다.
3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d
3x+by=4d에서 y을(를) \frac{45-4ad}{9-ab}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d
b에 \frac{45-4ad}{9-ab}을(를) 곱합니다.
3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}
수식의 양쪽에서 \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}을(를) 뺍니다.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}
양쪽을 3(으)로 나눕니다.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}
시스템이 이제 해결되었습니다.
ax+3y=15,3x+by=4d
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
ax+3y=15
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
ax=-3y+15
수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.
x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)
양쪽을 a(으)로 나눕니다.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}
\frac{1}{a}에 -3y+15을(를) 곱합니다.
3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d
다른 수식 3x+by=4d에서 \frac{3\left(5-y\right)}{a}을(를) x(으)로 치환합니다.
\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d
3에 \frac{3\left(5-y\right)}{a}을(를) 곱합니다.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d
-\frac{9y}{a}을(를) by에 추가합니다.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}
수식의 양쪽에서 \frac{45}{a}을(를) 뺍니다.
y=\frac{4ad-45}{ab-9}
양쪽을 b-\frac{9}{a}(으)로 나눕니다.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}
x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}에서 y을(를) \frac{4da-45}{ba-9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}
-\frac{3}{a}에 \frac{4da-45}{ba-9}을(를) 곱합니다.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}
\frac{15}{a}을(를) -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}에 추가합니다.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
시스템이 이제 해결되었습니다.
ax+3y=15,3x+by=4d
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
ax+3y=15,3x+by=4d
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d
ax 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 a을(를) 곱합니다.
3ax+9y=45,3ax+aby=4ad
단순화합니다.
3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3ax+9y=45에서 3ax+aby=4ad을(를) 뺍니다.
9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
3ax을(를) -3ax에 추가합니다. 3ax 및 -3ax이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
\left(9-ab\right)y=45-4ad
9y을(를) -aby에 추가합니다.
y=\frac{45-4ad}{9-ab}
양쪽을 9-ab(으)로 나눕니다.
3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d
3x+by=4d에서 y을(를) \frac{45-4ad}{9-ab}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d
b에 \frac{45-4ad}{9-ab}을(를) 곱합니다.
3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}
수식의 양쪽에서 \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}을(를) 뺍니다.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}
양쪽을 3(으)로 나눕니다.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}