다음을 풀어보세요: a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

a에 대한 해

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

근의 공식을 사용한 단계

부등식의 해를 구하려면 왼쪽을 인수 분해합니다. 이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$a^{2}-68a+225=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 1(으)로, b을(를) -68(으)로, c을(를) 225(으)로 대체합니다.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

계산을 합니다.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} 수식의 해를 찾습니다.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

얻은 해답을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

곱이 ≤0이(가) 되려면 값 a-\left(7\sqrt{19}+34\right) 및 a-\left(34-7\sqrt{19}\right) 중 하나가 ≥0이고 다른 값은 ≤0여야 합니다. a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 및 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0에 대한 사례를 고려합니다.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

모든 a에 거짓입니다.

$$a\in \emptyset$$

a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 및 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0에 대한 사례를 고려합니다.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right]입니다.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

최종 해답은 얻은 해의 합입니다.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$