다음을 풀어보세요: 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

y에 대한 해

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, -12을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

-36에 2을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

144을(를) -72에 추가합니다.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

72의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}을(를) 풉니다. 12을(를) 6\sqrt{2}에 추가합니다.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

12+6\sqrt{2}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}을(를) 풉니다. 12에서 6\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

12-6\sqrt{2}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

자신에서 2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9y^{2}-12y=-2$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

x 항의 계수인 -\frac{4}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{2}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{2}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{2}{3}을(를) 제곱합니다.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{2}{9}을(를) \frac{4}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

인수 y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

단순화합니다.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{3}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$