다음을 풀어보세요: 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

$$x=3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 9x^{2}+ax+bx-24(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -216을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

이 해답은 합계 -19이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-27 b=8$$

9x^{2}-19x-24을(를) \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

첫 번째 그룹 및 8에서 9x를 제한 합니다.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-3=0을 해결 하 고, 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, -19을(를) b로, -24을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

-19을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

-36에 -24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

361을(를) 864에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

1225의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

-19의 반대는 19입니다.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{19±35}{18}을(를) 풉니다. 19을(를) 35에 추가합니다.

$$x=\frac{54}{18}$$

54을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{19±35}{18}을(를) 풉니다. 19에서 35을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{18}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-16}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{8}{9}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

자신에서 -24을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

0에서 -24을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}-19x=24$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{24}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{19}{9}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{19}{18}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{19}{18}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{19}{18}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) \frac{361}{324}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

인수 x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{18}을(를) 더합니다.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$