다음을 풀어보세요: 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, -14을(를) b로, -14을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

-14을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

-36에 -14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

196을(를) 504에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

700의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

-14의 반대는 14입니다.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}을(를) 풉니다. 14을(를) 10\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

14+10\sqrt{7}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}을(를) 풉니다. 14에서 10\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

14-10\sqrt{7}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

자신에서 -14을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

0에서 -14을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}-14x=14$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

x 항의 계수인 -\frac{14}{9}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{9}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{9}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{9}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{14}{9}을(를) \frac{49}{81}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{9}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$