다음을 풀어보세요: 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 25을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

9에서 25을(를) 빼고 -16을(를) 구합니다.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 9x^{2}+ax+bx-16(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -144을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

이 해답은 합계 7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-9 b=16$$

9x^{2}+7x-16을(를) \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

첫 번째 그룹 및 16에서 9x를 제한 합니다.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-1=0을 해결 하 고, 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

수식의 양쪽에서 25을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

자신에서 25을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

9에서 25을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 7을(를) b로, -16을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-36에 -16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

49을(를) 576에 추가합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

625의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-7±25}{18}을(를) 풉니다. -7을(를) 25에 추가합니다.

$$x=\frac{18}{18}$$

18을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-7±25}{18}을(를) 풉니다. -7에서 25을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{32}{18}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-32}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{16}{9}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

25에서 9을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+7x=16$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

x 항의 계수인 \frac{7}{9}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{7}{18}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{7}{18}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{7}{18}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{16}{9}을(를) \frac{49}{324}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

인수 x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{18}을(를) 뺍니다.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$