다음을 풀어보세요: 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.942809042i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 6을(를) b로, 9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

-36에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

36을(를) -324에 추가합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

-288의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}을(를) 풉니다. -6을(를) 12i\sqrt{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

-6+12i\sqrt{2}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}을(를) 풉니다. -6에서 12i\sqrt{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

-6-12i\sqrt{2}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}+6x=-9$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

-9을(를) 9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

x 항의 계수인 \frac{2}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

-1을(를) \frac{1}{9}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$