다음을 풀어보세요: 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 9x^{2}+ax+bx+25(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 225을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

이 해답은 합계 30이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=15 b=15$$

9x^{2}+30x+25을(를) \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x+5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

수식 해답을 찾으려면 3x+5=0을(를) 계산하세요.

$$x=-\frac{5}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 30을(를) b로, 25을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

30을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

-36에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

900을(를) -900에 추가합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{30}{18}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

수식의 양쪽에서 25을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

자신에서 25을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}+30x=-25$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{30}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

x 항의 계수인 \frac{10}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{25}{9}을(를) \frac{25}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

인수 x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다. 해답은 동일합니다.

$$x=-\frac{5}{3}$$