다음을 풀어보세요: 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0.166666667+0.986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0.166666667-0.986013297i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 3을(를) b로, 9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

-36에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

9을(를) -324에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

-315의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}을(를) 풉니다. -3을(를) 3i\sqrt{35}에 추가합니다.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

-3+3i\sqrt{35}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}을(를) 풉니다. -3에서 3i\sqrt{35}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

-3-3i\sqrt{35}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}+3x=-9$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{3}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

-9을(를) 9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

x 항의 계수인 \frac{1}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

-1을(를) \frac{1}{36}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

인수 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$