다음을 풀어보세요: 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n에 대한 해

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 3n^{2}을(를) 뺍니다.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2}과(와) -3n^{2}을(를) 결합하여 6n^{2}(을)를 구합니다.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 6n^{2}+an+bn+20(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 제품 120을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

이 해답은 합계 -23이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20을(를) \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

첫 번째 그룹 및 -4에서 3n를 제한 합니다.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2n-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2n-5=0을 해결 하 고, 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

양쪽 모두에서 3n^{2}을(를) 뺍니다.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2}과(와) -3n^{2}을(를) 결합하여 6n^{2}(을)를 구합니다.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, -23을(를) b로, 20을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24에 20을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

529을(를) -480에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23의 반대는 23입니다.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{23±7}{12}을(를) 풉니다. 23을(를) 7에 추가합니다.

$$n=\frac{30}{12}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{30}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n=\frac{5}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{23±7}{12}을(를) 풉니다. 23에서 7을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{16}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{16}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n=\frac{4}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

제곱 완성 단계

양쪽 모두에서 3n^{2}을(를) 뺍니다.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2}과(와) -3n^{2}을(를) 결합하여 6n^{2}(을)를 구합니다.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$6n^{2}-23n=-20$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-20}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{23}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{23}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{23}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{23}{12}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{10}{3}을(를) \frac{529}{144}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

인수 n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

수식의 양쪽에 \frac{23}{12}을(를) 더합니다.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$