다음을 풀어보세요: 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

a에 대한 해

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 9a^{2}+aa+ba+16(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 144을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

이 해답은 합계 24이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=12 b=12$$

9a^{2}+24a+16을(를) \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 3a를 제한 합니다.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3a+4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

수식 해답을 찾으려면 3a+4=0을(를) 계산하세요.

$$a=-\frac{4}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 24을(를) b로, 16을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

24을(를) 제곱합니다.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

-36에 16을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

576을(를) -576에 추가합니다.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{24}{18}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-24}{18}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$a=-\frac{4}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

자신에서 16을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9a^{2}+24a=-16$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{24}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

x 항의 계수인 \frac{8}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{4}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{4}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{4}{3}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{16}{9}을(를) \frac{16}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

인수 a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

단순화합니다.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다. 해답은 동일합니다.

$$a=-\frac{4}{3}$$