다음을 풀어보세요: 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0.666666667+0.816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0.666666667-0.816496581i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, -12을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

-36에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

144을(를) -360에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

-216의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}을(를) 풉니다. 12을(를) 6i\sqrt{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

12+6i\sqrt{6}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}을(를) 풉니다. 12에서 6i\sqrt{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

12-6i\sqrt{6}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}-12x=-10$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

x 항의 계수인 -\frac{4}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{2}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{2}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{2}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{10}{9}을(를) \frac{4}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

인수 x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$