다음을 풀어보세요: 9x^2+150x-119=0

$$9 { x }^{ 2 } +150x-119=0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3}\approx 0.758787798$$

$$x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}\approx -17.425454465$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$9x^{2}+150x-119=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 150을(를) b로, -119을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-150±\sqrt{150^{2}-4\times 9\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

150을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-4\times 9\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-36\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

-36에 -119을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500+4284}}{2\times 9}$$

22500을(를) 4284에 추가합니다.

$$x=\frac{-150±\sqrt{26784}}{2\times 9}$$

26784의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18}을(를) 풉니다. -150을(를) 12\sqrt{186}에 추가합니다.

$$x=\frac{12\sqrt{186}-150}{18}$$

-150+12\sqrt{186}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18}을(를) 풉니다. -150에서 12\sqrt{186}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-12\sqrt{186}-150}{18}$$

-150-12\sqrt{186}을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3} x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$9x^{2}+150x-119=0$$

수식의 양쪽에 119을(를) 더합니다.

$$9x^{2}+150x-119-\left(-119\right)=-\left(-119\right)$$

자신에서 -119을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$9x^{2}+150x=-\left(-119\right)$$

0에서 -119을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+150x=119$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}+150x}{9}=\frac{119}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{150}{9}x=\frac{119}{9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{150}{9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x=\frac{119}{9}$$

x 항의 계수인 \frac{50}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{25}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{25}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\left(\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{119}{9}+\left(\frac{25}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{25}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{119+625}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{119}{9}을(를) \frac{625}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{248}{3}$$

인수 x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{248}{3}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{248}{3}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{25}{3}=\frac{2\sqrt{186}}{3} x+\frac{25}{3}=-\frac{2\sqrt{186}}{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3} x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$