다음을 풀어보세요: 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

인수 분해

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

해답 단계

식을 그룹화하여 인수 분해합니다. 먼저 식을 81x^{2}+ax+bx+100(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 8100을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

이 해답은 합계 180이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=90 b=90$$

81x^{2}+180x+100을(를) \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

두 번째 그룹에서 10 및 첫 번째 그룹에서 9x을(를) 인수 분해합니다.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 9x+10을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

이항 제곱 사용 단계

이 삼항식은 공통 인자를 곱했을 수도 있는 삼항식 제곱의 형식입니다. 삼항식 제곱은 선행 및 후행 항의 제곱근을 찾아서 인수 분해할 수 있습니다.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

계수의 최대 공약수를 찾습니다.

$$gcf(81,180,100)=1$$

선행 항 81x^{2}의 제곱근을 찾습니다.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

후행 항 100의 제곱근을 찾습니다.

$$\sqrt{100}=10$$

삼항식 제곱은 선행 및 후행 항의 제곱근의 합이나 차인 이항식의 제곱이며, 부호는 삼항식 제곱의 가운데 항의 부호에 따라 결정됩니다.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

180을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

-4에 81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

-324에 100을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

32400을(를) -32400에 추가합니다.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

2에 81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 원래 수식을 인수 분해합니다. -\frac{10}{9}을(를) x_{1}로 치환하고 -\frac{10}{9}을(를) x_{2}로 치환합니다.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) 형식의 모든 수식을 p+q(으)로 단순화합니다.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{10}{9}을(를) x에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{10}{9}을(를) x에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{9x+10}{9}에 \frac{9x+10}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

9에 9을(를) 곱합니다.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

81 및 81에서 최대 공약수 81을(를) 상쇄합니다.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

계산

$$\left(9x+10\right)^{2}$$