다음을 풀어보세요: 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

인수 분해

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

해답 단계

식을 그룹화하여 인수 분해합니다. 먼저 식을 81x^{2}+ax+bx+25(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 2025을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

이 해답은 합계 90이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=45 b=45$$

81x^{2}+90x+25을(를) \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

두 번째 그룹에서 5 및 첫 번째 그룹에서 9x을(를) 인수 분해합니다.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 9x+5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

이항 제곱 사용 단계

이 삼항식은 공통 인자를 곱했을 수도 있는 삼항식 제곱의 형식입니다. 삼항식 제곱은 선행 및 후행 항의 제곱근을 찾아서 인수 분해할 수 있습니다.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

계수의 최대 공약수를 찾습니다.

$$gcf(81,90,25)=1$$

선행 항 81x^{2}의 제곱근을 찾습니다.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

후행 항 25의 제곱근을 찾습니다.

$$\sqrt{25}=5$$

삼항식 제곱은 선행 및 후행 항의 제곱근의 합이나 차인 이항식의 제곱이며, 부호는 삼항식 제곱의 가운데 항의 부호에 따라 결정됩니다.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

90을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

-4에 81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

-324에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

8100을(를) -8100에 추가합니다.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

2에 81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 원래 수식을 인수 분해합니다. -\frac{5}{9}을(를) x_{1}로 치환하고 -\frac{5}{9}을(를) x_{2}로 치환합니다.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) 형식의 모든 수식을 p+q(으)로 단순화합니다.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{9}을(를) x에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{9}을(를) x에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{9x+5}{9}에 \frac{9x+5}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

9에 9을(를) 곱합니다.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

81 및 81에서 최대 공약수 81을(를) 상쇄합니다.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

계산

$$\left(9x+5\right)^{2}$$