다음을 풀어보세요: 8y^3-27=0

$$8 y ^ { 3 } - 27 = 0$$

y에 대한 해 (complex solution)

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{4}\approx -0.75-1.299038106i$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{4}\approx -0.75+1.299038106i$$

해답 단계

유리근 정리에 의하여 다항식의 모든 유리수 루트는 p -27 상수 항을 나누고 q 선행 계수 8을 분할하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$y=\frac{3}{2}$$

인수정리를 통해 y-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 8y^{3}-27을(를) 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3(으)로 나눠서 4y^{2}+6y+9을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 4(으)로, b을(를) 6(으)로, c을(를) 9(으)로 대체합니다.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

계산을 합니다.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 4y^{2}+6y+9=0 수식의 해를 찾습니다.

$$y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

찾은 솔루션을 모두 나열합니다.

$$y=\frac{3}{2} y=\frac{-3i\sqrt{3}-3}{4} y=\frac{-3+3i\sqrt{3}}{4}$$

y에 대한 해

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

해답 단계

유리근 정리에 의하여 다항식의 모든 유리수 루트는 p -27 상수 항을 나누고 q 선행 계수 8을 분할하는 형식 \frac{p}{q}에 있습니다. \frac{p}{q} 모든 후보를 나열하세요.

$$±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

절대값으로 가장 작은 정수 값부터 모두 시도하여 해당 루트를 찾습니다. 정수 루트를 찾을 수 없는 경우 분수를 시도하세요.

$$y=\frac{3}{2}$$

인수정리를 통해 y-k은(는) 각 루트 k에 대한 다항식의 한 인수입니다. 8y^{3}-27을(를) 2\left(y-\frac{3}{2}\right)=2y-3(으)로 나눠서 4y^{2}+6y+9을(를) 구합니다. 결과가 0와 같은 수식을 계산 합니다.

$$4y^{2}+6y+9=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 4(으)로, b을(를) 6(으)로, c을(를) 9(으)로 대체합니다.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

계산을 합니다.

$$y=\frac{-6±\sqrt{-108}}{8}$$

실제 필드에서 음수의 제곱근이 정의되지 않았으므로 해답이 없습니다.

$$y\in \emptyset$$

찾은 솔루션을 모두 나열합니다.

$$y=\frac{3}{2}$$