다음을 풀어보세요: 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1.112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0.112372436$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, -8을(를) b로, -1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

-8을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

-32에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

64을(를) 32에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

96의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

-8의 반대는 8입니다.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}을(를) 풉니다. 8을(를) 4\sqrt{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

8+4\sqrt{6}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}을(를) 풉니다. 8에서 4\sqrt{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

8-4\sqrt{6}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

자신에서 -1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

0에서 -1을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}-8x=1$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

-8을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{8}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$