다음을 풀어보세요: 8x^2+48x+27=0

$$8 x ^ { 2 } + 48 x + 27 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{4}-3\approx -0.628291755$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{4}-3\approx -5.371708245$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}+48x+27=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, 48을(를) b로, 27을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 8\times 27}}{2\times 8}$$

48을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 8\times 27}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-32\times 27}}{2\times 8}$$

-32에 27을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-864}}{2\times 8}$$

2304을(를) -864에 추가합니다.

$$x=\frac{-48±\sqrt{1440}}{2\times 8}$$

1440의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-48±12\sqrt{10}}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-48±12\sqrt{10}}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-48±12\sqrt{10}}{16}을(를) 풉니다. -48을(를) 12\sqrt{10}에 추가합니다.

$$x=\frac{12\sqrt{10}-48}{16}$$

-48+12\sqrt{10}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{4}-3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-48±12\sqrt{10}}{16}을(를) 풉니다. -48에서 12\sqrt{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-12\sqrt{10}-48}{16}$$

-48-12\sqrt{10}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{4}-3$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{4}-3 x=-\frac{3\sqrt{10}}{4}-3$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}+48x+27=0$$

수식의 양쪽에서 27을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}+48x+27-27=-27$$

자신에서 27을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8x^{2}+48x=-27$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}+48x}{8}=-\frac{27}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{48}{8}x=-\frac{27}{8}$$

48을(를) 8(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+6x=-\frac{27}{8}$$

x 항의 계수인 6을(를) 2(으)로 나눠서 3을(를) 구합니다. 그런 다음 3의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-\frac{27}{8}+3^{2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+6x+9=-\frac{27}{8}+9$$

-\frac{27}{8}을(를) 9에 추가합니다.

$$x^{2}+6x+9=\frac{45}{8}$$

인수 x^{2}+6x+9. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+3\right)^{2}=\frac{45}{8}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{8}}$$

단순화합니다.

$$x+3=\frac{3\sqrt{10}}{4} x+3=-\frac{3\sqrt{10}}{4}$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{4}-3 x=-\frac{3\sqrt{10}}{4}-3$$