다음을 풀어보세요: 8x^2+13x+10=0

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0.8125+0.768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0.8125-0.768012858i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, 13을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

13을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

-32에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

169을(를) -320에 추가합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

-151의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}을(를) 풉니다. -13을(를) i\sqrt{151}에 추가합니다.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}을(를) 풉니다. -13에서 i\sqrt{151}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8x^{2}+13x=-10$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{13}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{13}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{13}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{13}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{4}을(를) \frac{169}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

인수 x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

수식의 양쪽에서 \frac{13}{16}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$