다음을 풀어보세요: 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 8x^{2}+ax+bx-7(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -56을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-4 b=14$$

8x^{2}+10x-7을(를) \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 4x를 제한 합니다.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-1=0을 해결 하 고, 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, 10을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-32에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

100을(를) 224에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

324의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±18}{16}을(를) 풉니다. -10을(를) 18에 추가합니다.

$$x=\frac{8}{16}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{8}{16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±18}{16}을(를) 풉니다. -10에서 18을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{28}{16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-28}{16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{7}{4}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

자신에서 -7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

0에서 -7을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}+10x=7$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{10}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

x 항의 계수인 \frac{5}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{8}을(를) \frac{25}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$