다음을 풀어보세요: 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

n에 대한 해

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37.952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24.702154754$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, -106을(를) b로, -7500을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

-106을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

-32에 -7500을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

11236을(를) 240000에 추가합니다.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

251236의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

-106의 반대는 106입니다.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}을(를) 풉니다. 106을(를) 2\sqrt{62809}에 추가합니다.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

106+2\sqrt{62809}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}을(를) 풉니다. 106에서 2\sqrt{62809}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

106-2\sqrt{62809}을(를) 16(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

수식의 양쪽에 7500을(를) 더합니다.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

자신에서 -7500을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

0에서 -7500을(를) 뺍니다.

$$8n^{2}-106n=7500$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-106}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{7500}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

x 항의 계수인 -\frac{53}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{53}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{53}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{53}{8}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1875}{2}을(를) \frac{2809}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

인수 n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

단순화합니다.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

수식의 양쪽에 \frac{53}{8}을(를) 더합니다.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$