다음을 풀어보세요: 8x^2-7x+2=0

$$8 { x }^{ 2 } -7x+2=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}\approx 0.4375+0.242061459i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}\approx 0.4375-0.242061459i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, -7을(를) b로, 2을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

-7을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32\times 2}}{2\times 8}$$

-32에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-64}}{2\times 8}$$

49을(를) -64에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-15}}{2\times 8}$$

-15의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

-7의 반대는 7입니다.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}을(를) 풉니다. 7을(를) i\sqrt{15}에 추가합니다.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}을(를) 풉니다. 7에서 i\sqrt{15}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$8x^{2}-7x+2-2=-2$$

자신에서 2을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$8x^{2}-7x=-2$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{2}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{2}{8}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-2}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{4}$$

x 항의 계수인 -\frac{7}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{4}을(를) \frac{49}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{256}$$

인수 x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{256}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{15}i}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{15}i}{16}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{16}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$