다음을 풀어보세요: 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0.9+19.979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0.9-19.979739738i$$

근의 공식을 사용한 단계

7x과(와) -\frac{5}{2}x을(를) 결합하여 \frac{9}{2}x(을)를 구합니다.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

양쪽 모두에서 1000을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -\frac{5}{2}을(를) a로, \frac{9}{2}을(를) b로, -1000을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{9}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

-4에 -\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

10에 -1000을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

\frac{81}{4}을(를) -10000에 추가합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

-\frac{39919}{4}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

2에 -\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}을(를) 풉니다. -\frac{9}{2}을(를) \frac{i\sqrt{39919}}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

\frac{-9+i\sqrt{39919}}{2}을(를) -5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}을(를) 풉니다. -\frac{9}{2}에서 \frac{i\sqrt{39919}}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

\frac{-9-i\sqrt{39919}}{2}을(를) -5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

제곱 완성 단계

7x과(와) -\frac{5}{2}x을(를) 결합하여 \frac{9}{2}x(을)를 구합니다.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

-\frac{5}{2}(으)로 나누면 -\frac{5}{2}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

\frac{9}{2}에 -\frac{5}{2}의 역수를 곱하여 \frac{9}{2}을(를) -\frac{5}{2}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

1000에 -\frac{5}{2}의 역수를 곱하여 1000을(를) -\frac{5}{2}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

x 항의 계수인 -\frac{9}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{9}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{9}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{9}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

-400을(를) \frac{81}{100}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

인수 x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{10}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$