다음을 풀어보세요: 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 7x^{2}+ax+bx-15(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -105을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

이 해답은 합계 -32이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-35 b=3$$

7x^{2}-32x-15을(를) \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 7x를 제한 합니다.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-5=0을 해결 하 고, 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 7을(를) a로, -32을(를) b로, -15을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-32을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-4에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-28에 -15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

1024을(를) 420에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

1444의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

-32의 반대는 32입니다.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

2에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{32±38}{14}을(를) 풉니다. 32을(를) 38에 추가합니다.

$$x=\frac{70}{14}$$

70을(를) 14(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{32±38}{14}을(를) 풉니다. 32에서 38을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{6}{14}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-6}{14}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{7}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

자신에서 -15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

0에서 -15을(를) 뺍니다.

$$7x^{2}-32x=15$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

7(으)로 나누면 7(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

x 항의 계수인 -\frac{32}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{16}{7}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{16}{7}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{16}{7}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{7}을(를) \frac{256}{49}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

인수 x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{7}을(를) 더합니다.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$