다음을 풀어보세요: 7n^2+10n-130=0

$$7 n ^ { 2 } + 10 n - 130 = 0$$

n에 대한 해

$$n = \frac{\sqrt{935} - 5}{7} \approx 3.6539671$$

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}\approx -5.082538529$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 7을(를) a로, 10을(를) b로, -130을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

-4에 7을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-28\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

-28에 -130을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+3640}}{2\times 7}$$

100을(를) 3640에 추가합니다.

$$n=\frac{-10±\sqrt{3740}}{2\times 7}$$

3740의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{2\times 7}$$

2에 7을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}을(를) 풉니다. -10을(를) 2\sqrt{935}에 추가합니다.

$$n=\frac{2\sqrt{935}-10}{14}$$

-10+2\sqrt{935}을(를) 14(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}을(를) 풉니다. -10에서 2\sqrt{935}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{-2\sqrt{935}-10}{14}$$

-10-2\sqrt{935}을(를) 14(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

수식의 양쪽에 130을(를) 더합니다.

$$7n^{2}+10n-130-\left(-130\right)=-\left(-130\right)$$

자신에서 -130을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$7n^{2}+10n=-\left(-130\right)$$

0에서 -130을(를) 뺍니다.

$$7n^{2}+10n=130$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$\frac{7n^{2}+10n}{7}=\frac{130}{7}$$

7(으)로 나누면 7(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n=\frac{130}{7}$$

x 항의 계수인 \frac{10}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{7}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{7}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{130}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{7}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{130}{7}+\frac{25}{49}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{130}{7}을(를) \frac{25}{49}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{935}{49}$$

인수 n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{935}{49}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{935}{49}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{5}{7}=\frac{\sqrt{935}}{7} n+\frac{5}{7}=-\frac{\sqrt{935}}{7}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{7}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$