다음을 풀어보세요: 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1.086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0.657611115$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 7을(를) a로, -3을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

-3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

-4에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

-28에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

9을(를) 140에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

-3의 반대는 3입니다.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

2에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}을(를) 풉니다. 3을(를) \sqrt{149}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}을(를) 풉니다. 3에서 \sqrt{149}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

자신에서 -5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

0에서 -5을(를) 뺍니다.

$$7x^{2}-3x=5$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

7(으)로 나누면 7(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

x 항의 계수인 -\frac{3}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{14}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{14}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{14}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{7}을(를) \frac{9}{196}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{14}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$