다음을 풀어보세요: 7x^2+45x-90=0

$$7 { x }^{ 2 } +45x-90 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{3 \sqrt{505} - 45}{14} \approx 1.601186797$$

$$x=\frac{-3\sqrt{505}-45}{14}\approx -8.029758226$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$7x^{2}+45x-90=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 7을(를) a로, 45을(를) b로, -90을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 7\left(-90\right)}}{2\times 7}$$

45을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 7\left(-90\right)}}{2\times 7}$$

-4에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-28\left(-90\right)}}{2\times 7}$$

-28에 -90을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+2520}}{2\times 7}$$

2025을(를) 2520에 추가합니다.

$$x=\frac{-45±\sqrt{4545}}{2\times 7}$$

4545의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{505}}{2\times 7}$$

2에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{505}}{14}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-45±3\sqrt{505}}{14}을(를) 풉니다. -45을(를) 3\sqrt{505}에 추가합니다.

$$x=\frac{3\sqrt{505}-45}{14}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-45±3\sqrt{505}}{14}을(를) 풉니다. -45에서 3\sqrt{505}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{505}-45}{14}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3\sqrt{505}-45}{14} x=\frac{-3\sqrt{505}-45}{14}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$7x^{2}+45x-90=0$$

수식의 양쪽에 90을(를) 더합니다.

$$7x^{2}+45x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

자신에서 -90을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$7x^{2}+45x=-\left(-90\right)$$

0에서 -90을(를) 뺍니다.

$$7x^{2}+45x=90$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$\frac{7x^{2}+45x}{7}=\frac{90}{7}$$

7(으)로 나누면 7(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{45}{7}x=\frac{90}{7}$$

x 항의 계수인 \frac{45}{7}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{45}{14}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{45}{14}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{45}{7}x+\left(\frac{45}{14}\right)^{2}=\frac{90}{7}+\left(\frac{45}{14}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{45}{14}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{45}{7}x+\frac{2025}{196}=\frac{90}{7}+\frac{2025}{196}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{90}{7}을(를) \frac{2025}{196}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{45}{7}x+\frac{2025}{196}=\frac{4545}{196}$$

인수 x^{2}+\frac{45}{7}x+\frac{2025}{196}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{45}{14}\right)^{2}=\frac{4545}{196}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{45}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4545}{196}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{45}{14}=\frac{3\sqrt{505}}{14} x+\frac{45}{14}=-\frac{3\sqrt{505}}{14}$$

수식의 양쪽에서 \frac{45}{14}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3\sqrt{505}-45}{14} x=\frac{-3\sqrt{505}-45}{14}$$