다음을 풀어보세요: 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 64을(를) a로, 24\sqrt{5}을(를) b로, 33을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

24\sqrt{5}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

-4에 64을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

-256에 33을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

2880을(를) -8448에 추가합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

-5568의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

2에 64을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}을(를) 풉니다. -24\sqrt{5}을(를) 8i\sqrt{87}에 추가합니다.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

-24\sqrt{5}+8i\sqrt{87}을(를) 128(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}을(를) 풉니다. -24\sqrt{5}에서 8i\sqrt{87}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

-24\sqrt{5}-8i\sqrt{87}을(를) 128(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

수식의 양쪽에서 33을(를) 뺍니다.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

자신에서 33을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

양쪽을 64(으)로 나눕니다.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

64(으)로 나누면 64(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

24\sqrt{5}을(를) 64(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

x 항의 계수인 \frac{3\sqrt{5}}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3\sqrt{5}}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3\sqrt{5}}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

\frac{3\sqrt{5}}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{33}{64}을(를) \frac{45}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

인수 x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3\sqrt{5}}{16}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$