다음을 풀어보세요: 60x^2+588x-169=0

$$60 x ^ { 2 } + 588 x - 169 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}\approx 0.27944656$$

$$x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}\approx -10.07944656$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$60x^{2}+588x-169=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 60을(를) a로, 588을(를) b로, -169을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-588±\sqrt{588^{2}-4\times 60\left(-169\right)}}{2\times 60}$$

588을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-588±\sqrt{345744-4\times 60\left(-169\right)}}{2\times 60}$$

-4에 60을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-588±\sqrt{345744-240\left(-169\right)}}{2\times 60}$$

-240에 -169을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-588±\sqrt{345744+40560}}{2\times 60}$$

345744을(를) 40560에 추가합니다.

$$x=\frac{-588±\sqrt{386304}}{2\times 60}$$

386304의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{2\times 60}$$

2에 60을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{120}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{120}을(를) 풉니다. -588을(를) 16\sqrt{1509}에 추가합니다.

$$x=\frac{16\sqrt{1509}-588}{120}$$

-588+16\sqrt{1509}을(를) 120(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-588±16\sqrt{1509}}{120}을(를) 풉니다. -588에서 16\sqrt{1509}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-16\sqrt{1509}-588}{120}$$

-588-16\sqrt{1509}을(를) 120(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10} x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$60x^{2}+588x-169=0$$

수식의 양쪽에 169을(를) 더합니다.

$$60x^{2}+588x-169-\left(-169\right)=-\left(-169\right)$$

자신에서 -169을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$60x^{2}+588x=-\left(-169\right)$$

0에서 -169을(를) 뺍니다.

$$60x^{2}+588x=169$$

양쪽을 60(으)로 나눕니다.

$$\frac{60x^{2}+588x}{60}=\frac{169}{60}$$

60(으)로 나누면 60(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{588}{60}x=\frac{169}{60}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{588}{60}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x=\frac{169}{60}$$

x 항의 계수인 \frac{49}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{49}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{49}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x+\left(\frac{49}{10}\right)^{2}=\frac{169}{60}+\left(\frac{49}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{49}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x+\frac{2401}{100}=\frac{169}{60}+\frac{2401}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{169}{60}을(를) \frac{2401}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{49}{5}x+\frac{2401}{100}=\frac{2012}{75}$$

인수 x^{2}+\frac{49}{5}x+\frac{2401}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{49}{10}\right)^{2}=\frac{2012}{75}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2012}{75}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{49}{10}=\frac{2\sqrt{1509}}{15} x+\frac{49}{10}=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}$$

수식의 양쪽에서 \frac{49}{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10} x=-\frac{2\sqrt{1509}}{15}-\frac{49}{10}$$