다음을 풀어보세요: 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2.858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0.524815261$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, -14을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

-14을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

196을(를) 216에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

412의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

-14의 반대는 14입니다.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}을(를) 풉니다. 14을(를) 2\sqrt{103}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

14+2\sqrt{103}을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}을(를) 풉니다. 14에서 2\sqrt{103}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

14-2\sqrt{103}을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}-14x=9$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-14}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{9}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

x 항의 계수인 -\frac{7}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{7}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{7}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{7}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) \frac{49}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

인수 x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{6}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$