다음을 풀어보세요: 6n^2+140n-151=0

$$6 n ^ { 2 } + 140 n - 151 = 0$$

n에 대한 해

$$n=\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3}\approx 1.032852134$$

$$n=-\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3}\approx -24.366185468$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6n^{2}+140n-151=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, 140을(를) b로, -151을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\times 6\left(-151\right)}}{2\times 6}$$

140을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-140±\sqrt{19600-4\times 6\left(-151\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-140±\sqrt{19600-24\left(-151\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -151을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-140±\sqrt{19600+3624}}{2\times 6}$$

19600을(를) 3624에 추가합니다.

$$n=\frac{-140±\sqrt{23224}}{2\times 6}$$

23224의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-140±2\sqrt{5806}}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-140±2\sqrt{5806}}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-140±2\sqrt{5806}}{12}을(를) 풉니다. -140을(를) 2\sqrt{5806}에 추가합니다.

$$n=\frac{2\sqrt{5806}-140}{12}$$

-140+2\sqrt{5806}을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-140±2\sqrt{5806}}{12}을(를) 풉니다. -140에서 2\sqrt{5806}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{-2\sqrt{5806}-140}{12}$$

-140-2\sqrt{5806}을(를) 12(으)로 나눕니다.

$$n=-\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3} n=-\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6n^{2}+140n-151=0$$

수식의 양쪽에 151을(를) 더합니다.

$$6n^{2}+140n-151-\left(-151\right)=-\left(-151\right)$$

자신에서 -151을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6n^{2}+140n=-\left(-151\right)$$

0에서 -151을(를) 뺍니다.

$$6n^{2}+140n=151$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6n^{2}+140n}{6}=\frac{151}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{140}{6}n=\frac{151}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{140}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$n^{2}+\frac{70}{3}n=\frac{151}{6}$$

x 항의 계수인 \frac{70}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{35}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{35}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+\frac{70}{3}n+\left(\frac{35}{3}\right)^{2}=\frac{151}{6}+\left(\frac{35}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{35}{3}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+\frac{70}{3}n+\frac{1225}{9}=\frac{151}{6}+\frac{1225}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{151}{6}을(를) \frac{1225}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$n^{2}+\frac{70}{3}n+\frac{1225}{9}=\frac{2903}{18}$$

인수 n^{2}+\frac{70}{3}n+\frac{1225}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{35}{3}\right)^{2}=\frac{2903}{18}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{35}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2903}{18}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{35}{3}=\frac{\sqrt{5806}}{6} n+\frac{35}{3}=-\frac{\sqrt{5806}}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{35}{3}을(를) 뺍니다.

$$n=\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3} n=-\frac{\sqrt{5806}}{6}-\frac{35}{3}$$