다음을 풀어보세요: 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 6x^{2}+ax+bx-5(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -30을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

이 해답은 합계 7이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-3 b=10$$

6x^{2}+7x-5을(를) \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x-1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x-1=0을 해결 하 고, 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, 7을(를) b로, -5을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-24에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

49을(를) 120에 추가합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

169의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-7±13}{12}을(를) 풉니다. -7을(를) 13에 추가합니다.

$$x=\frac{6}{12}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{6}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-7±13}{12}을(를) 풉니다. -7에서 13을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{20}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-20}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

자신에서 -5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

0에서 -5을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+7x=5$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

x 항의 계수인 \frac{7}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{7}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{7}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{7}{12}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{6}을(를) \frac{49}{144}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

인수 x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{12}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$