다음을 풀어보세요: 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 6x^{2}+ax+bx+1(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 6을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,6 2,3$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+6=7 2+3=5$$

이 해답은 합계 5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=2 b=3$$

6x^{2}+5x+1을(를) \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

인수분해 6x^{2}+2x에서 2x를 뽑아냅니다.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 3x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 3x+1=0을 해결 하 고, 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 6을(를) a로, 5을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

-4에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

25을(를) -24에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

1의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

2에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±1}{12}을(를) 풉니다. -5을(를) 1에 추가합니다.

$$x=-\frac{4}{12}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±1}{12}을(를) 풉니다. -5에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{6}{12}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-6}{12}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$6x^{2}+5x=-1$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

6(으)로 나누면 6(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

x 항의 계수인 \frac{5}{6}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{12}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{12}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{12}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{6}을(를) \frac{25}{144}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

인수 x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{12}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$