다음을 풀어보세요: 5975x^2+450125x-706653125=0

$$5975 x ^ { 2 } + 450125 x - 706653125 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{5 \sqrt{1093863821} - 18005}{478} \approx 308.290922127$$

$$x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}\approx -383.62565016$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5975x^{2}+450125x-706653125=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5975을(를) a로, 450125을(를) b로, -706653125을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{450125^{2}-4\times 5975\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

450125을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625-4\times 5975\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

-4에 5975을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625-23900\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

-23900에 -706653125을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625+16889009687500}}{2\times 5975}$$

202612515625을(를) 16889009687500에 추가합니다.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{17091622203125}}{2\times 5975}$$

17091622203125의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{2\times 5975}$$

2에 5975을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950}을(를) 풉니다. -450125을(를) 125\sqrt{1093863821}에 추가합니다.

$$x=\frac{125\sqrt{1093863821}-450125}{11950}$$

-450125+125\sqrt{1093863821}을(를) 11950(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950}을(를) 풉니다. -450125에서 125\sqrt{1093863821}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-125\sqrt{1093863821}-450125}{11950}$$

-450125-125\sqrt{1093863821}을(를) 11950(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478} x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5975x^{2}+450125x-706653125=0$$

수식의 양쪽에 706653125을(를) 더합니다.

$$5975x^{2}+450125x-706653125-\left(-706653125\right)=-\left(-706653125\right)$$

자신에서 -706653125을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5975x^{2}+450125x=-\left(-706653125\right)$$

0에서 -706653125을(를) 뺍니다.

$$5975x^{2}+450125x=706653125$$

양쪽을 5975(으)로 나눕니다.

$$\frac{5975x^{2}+450125x}{5975}=\frac{706653125}{5975}$$

5975(으)로 나누면 5975(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{450125}{5975}x=\frac{706653125}{5975}$$

25을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{450125}{5975}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x=\frac{706653125}{5975}$$

25을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{706653125}{5975}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x=\frac{28266125}{239}$$

x 항의 계수인 \frac{18005}{239}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{18005}{478}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{18005}{478}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\left(\frac{18005}{478}\right)^{2}=\frac{28266125}{239}+\left(\frac{18005}{478}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{18005}{478}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}=\frac{28266125}{239}+\frac{324180025}{228484}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{28266125}{239}을(를) \frac{324180025}{228484}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}=\frac{27346595525}{228484}$$

인수 x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{18005}{478}\right)^{2}=\frac{27346595525}{228484}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18005}{478}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27346595525}{228484}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{18005}{478}=\frac{5\sqrt{1093863821}}{478} x+\frac{18005}{478}=-\frac{5\sqrt{1093863821}}{478}$$

수식의 양쪽에서 \frac{18005}{478}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478} x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$