다음을 풀어보세요: 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0.107142857+0.079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0.107142857-0.079859571i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 56을(를) a로, -12을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

-4에 56을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

144을(를) -224에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

-80의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

2에 56을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}을(를) 풉니다. 12을(를) 4i\sqrt{5}에 추가합니다.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

12+4i\sqrt{5}을(를) 112(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}을(를) 풉니다. 12에서 4i\sqrt{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

12-4i\sqrt{5}을(를) 112(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$56x^{2}-12x=-1$$

양쪽을 56(으)로 나눕니다.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

56(으)로 나누면 56(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-12}{56}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

x 항의 계수인 -\frac{3}{14}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{28}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{28}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{28}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{56}을(를) \frac{9}{784}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

인수 x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{28}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$