다음을 풀어보세요: 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

x에 대한 해

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3.74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5.74341649$$

근의 공식을 사용한 단계

1+x과(와) 1+x을(를) 곱하여 \left(1+x\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(1+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

분배 법칙을 사용하여 54에 1+2x+x^{2}(을)를 곱합니다.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

양쪽 모두에서 1215을(를) 뺍니다.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

54에서 1215을(를) 빼고 -1161을(를) 구합니다.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 54을(를) a로, 108을(를) b로, -1161을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

108을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-4에 54을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-216에 -1161을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

11664을(를) 250776에 추가합니다.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

262440의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

2에 54을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}을(를) 풉니다. -108을(를) 162\sqrt{10}에 추가합니다.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108+162\sqrt{10}을(를) 108(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}을(를) 풉니다. -108에서 162\sqrt{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108-162\sqrt{10}을(를) 108(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

제곱 완성 단계

1+x과(와) 1+x을(를) 곱하여 \left(1+x\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(1+x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

분배 법칙을 사용하여 54에 1+2x+x^{2}(을)를 곱합니다.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

양쪽 모두에서 54을(를) 뺍니다.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

1215에서 54을(를) 빼고 1161을(를) 구합니다.

$$108x+54x^{2}=1161$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$54x^{2}+108x=1161$$

양쪽을 54(으)로 나눕니다.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

54(으)로 나누면 54(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

108을(를) 54(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

27을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{1161}{54}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

x 항의 계수인 2을(를) 2(으)로 나눠서 1을(를) 구합니다. 그런 다음 1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

\frac{43}{2}을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

인수 x^{2}+2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

단순화합니다.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$