다음을 풀어보세요: 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

자신에서 12을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

5에서 12을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 3을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

9을(를) -28에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

-19의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}을(를) 풉니다. -3을(를) i\sqrt{19}에 추가합니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

-3+i\sqrt{19}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}을(를) 풉니다. -3에서 i\sqrt{19}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

-3-i\sqrt{19}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

자신에서 5을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

12에서 5을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+3x=7$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

3을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

7을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=-7$$

x 항의 계수인 -3을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

-7을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

인수 x^{2}-3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$