다음을 풀어보세요: 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -40을(를) b로, 85을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

-40을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

-20에 85을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

1600을(를) -1700에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

-100의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

-40의 반대는 40입니다.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{40±10i}{10}을(를) 풉니다. 40을(를) 10i에 추가합니다.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

40+10i을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=4+i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{40±10i}{10}을(를) 풉니다. 40에서 10i을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

40-10i을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=4-i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4+i x=4-i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

수식의 양쪽에서 85을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

자신에서 85을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-40x=-85$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

-40을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

-85을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-8x=-17$$

x 항의 계수인 -8을(를) 2(으)로 나눠서 -4을(를) 구합니다. 그런 다음 -4의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

-4을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

-17을(를) 16에 추가합니다.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

x^{2}-8x+16을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

단순화합니다.

$$x-4=i x-4=-i$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$x=4+i x=4-i$$