다음을 풀어보세요: 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

x에 대한 해

$$x=1$$

$$x=3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-4x+3=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx+3(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 음수 이기 때문에 a 및 b 모두 음수입니다. 해당하는 쌍은 시스템 해답이 유일합니다.

$$a=-3 b=-1$$

x^{2}-4x+3을(를) \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

첫 번째 그룹 및 -1에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-3=0을 해결 하 고, x-1=0.

$$x=3 x=1$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -20을(를) b로, 15을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

-20을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

-20에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

400을(를) -300에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

100의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

-20의 반대는 20입니다.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{20±10}{10}을(를) 풉니다. 20을(를) 10에 추가합니다.

$$x=\frac{30}{10}$$

30을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{20±10}{10}을(를) 풉니다. 20에서 10을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{10}{10}$$

10을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=3 x=1$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

자신에서 15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-20x=-15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

-20을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

-15을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-4x=-3$$

x 항의 계수인 -4을(를) 2(으)로 나눠서 -2을(를) 구합니다. 그런 다음 -2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

-3을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}-4x+4=1$$

인수 x^{2}-4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

단순화합니다.

$$x-2=1 x-2=-1$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$x=3 x=1$$