다음을 풀어보세요: 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x+36=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx+36(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 36을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

이 해답은 합계 12이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=6 b=6$$

x^{2}+12x+36을(를) \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

첫 번째 그룹 및 6에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x+6을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

수식 해답을 찾으려면 x+6=0을(를) 계산하세요.

$$x=-6$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 60을(를) b로, 180을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

60을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

-20에 180을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

3600을(를) -3600에 추가합니다.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{60}{10}$$

-60을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=-6$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

수식의 양쪽에서 180을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

자신에서 180을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}+60x=-180$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

60을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

-180을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+12x=-36$$

x 항의 계수인 12을(를) 2(으)로 나눠서 6을(를) 구합니다. 그런 다음 6의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

-36을(를) 36에 추가합니다.

$$x^{2}+12x+36=0$$

인수 x^{2}+12x+36. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

단순화합니다.

$$x+6=0 x+6=0$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$x=-6 x=-6$$

수식이 이제 해결되었습니다. 해답은 동일합니다.

$$x=-6$$