다음을 풀어보세요: 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0.6+1.280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0.6-1.280624847i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 6을(를) b로, 10을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

-20에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

36을(를) -200에 추가합니다.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

-164의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}을(를) 풉니다. -6을(를) 2i\sqrt{41}에 추가합니다.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

-6+2i\sqrt{41}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}을(를) 풉니다. -6에서 2i\sqrt{41}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

-6-2i\sqrt{41}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

자신에서 10을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}+6x=-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

x 항의 계수인 \frac{6}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

-2을(를) \frac{9}{25}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

인수 x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$