다음을 풀어보세요: 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 3을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

9을(를) -20에 추가합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

-11의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}을(를) 풉니다. -3을(를) i\sqrt{11}에 추가합니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}을(를) 풉니다. -3에서 i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}+3x=-1$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{3}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{10}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{5}을(를) \frac{9}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{10}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$